بزرگترین عددی که به ذهنتان می‌رسد، چیست؟ زمانی که بچه بودم، این سوالی بود که در مدرسه از هم می‌پرسیدیم. اکثرا ارقام ساده‌ای مانند "یک میلیارد میلیارد میلیارد" را می‌گفتند و اگر کسی چیزی در مورد تریلیون‌ها، اسکیلیون‌ها یا کاجیلیون‌ها می‌دانست (حتی اگر فقط یکی از آنها واقعی بود) از او پیشی می‌گرفت.

نهایتا برنده این بازی کسی بود که این جواب را می‌داد:«بی‌نهایت!» اما این شادی گذرا بود. چون نفر بعد با گفتن «بی‌نهایت +۱» او را شکست می‌داد.

اگرچه تلاش‌ها برای تصور و درک اعداد بسیار بزرگ، فراتر از بازی‌های ما در مدرسه است. این موضوعی است که ریاضی‌دانان، قرن‌ها در موردش فکر کرده‌اند. صحبت از اعدادی است که آنقدر بزرگ هستند که حتی در ذهن انسان نمی‌گنجند، چه برسد به اینکه روی کاغذ نوشته شوند؛ در مورد عددی به نام بی‌نهایت به نظر می‌رسد که بیش از یک بی‌نهایت وجود دارد، و برخی از بی‌نهایت‌ها به شکل غیرمنتظره‌ای بزرگتر از بقیه هستند.

بیایید با بازی ۱۰ سالگی خود من شروع کنیم؛ بسیار واضح است که هیچ عدد خاصی وجود ندارد که بتوانیم آن را به‌عنوان بزرگترین عدد در نظر بگیریم، چرا که اعداد طبیعی بی‌نهایت هستند. بنابراین شما هرگز نمی‌توانید در مسابقه مدرسه برنده باشید.

با این‌حال، این بدان معنا نیست که همه اعداد بزرگ توسط کامپیوترها مطرح شده و حساب و کتاب می‌شوند.

کافی است که اندکی از اعدادی که به صورت روزمره از آنها استفاده می‌کنیم‌، فاصله گرفته و از مرز اعدادی مثل میلیون و میلیارد عبور کنیم؛ مثلا در اخبار، بزرگترین اعدادی که به گوش می‌رسند، آمار و اعدادی درباره بدهی‌های کلان هستند که با ارقامی در حد و اندازه‌های تریلیون بیان می‌شوند. اما همیشه سلسله مراتبی از اعداد بزرگتر هم وجود دارند که بالاتر از این اعداد قرار می‌گیرند؛ اعدادی که به ندرت به گوشمان می‌خورد. این اعداد با کوادریلیون‌ها، کوینتیلیون‌ها، سکستییلیون‌ها و غیره شروع شده و ادامه پیدا می‌کنند. یک کوادریلیون (نسخه آمریکایی) دارای ۱۵ صفر، یک کوینتیلیون ۱۸ صفر دارد و یک سکستیلیون دارای۲۱ صفر است.

این اعداد اگرچه بسیار بزرگ هستند ولی در برخی مواقع، حسابی کاربردی می‌شوند. بدن انسان در حدود۳۰ تریلیون سلول دارد، بنابراین برای داشتن یک کوادریلیون سلول در یک اتاق، به۳۴ نفر نیاز دارید. وقتی صحبت از کویینتیلیون‌ها به میان می‌آید که بخواهید مثلاً در مورد تعداد حشرات روی کره زمین (حدود۱۰کوینتیلیون) صحبت کنید. در همین حال، عدد سکستیلیون به قدری بزرگ است که یک برج متشکل از یک سکستیلیون انسان، به اندازه ۱۸۰ سال نوری بلندی خواهد داشت.

حتی شما می‌توانید به اعداد مانند سنتلیون برسید که در نسخه آمریکایی، ۳۰۳ صفر دارد (و حتی بالاتر از آن اعدادی مانند دوسنتلیون و ترسنتیلیون نیز وجود دارد که البته این اعداد کمتر استاندارد شده‌اند). به طور واقع بینانه، تنها فیزیکدانان و ریاضیدانان و متخصصان نظریه ریسمان (نظریه‌ای در فیزیک) می‌توانند از عددی در حد و اندازه‌های سنتلیون استفاده کنند. اگر ایلان ماسک می‌خواست یک سنتلیونر شود، باید در هر میلی‌ثانیه(یک هزارم ثانیه) به مدت ۱.۷×۱۰^۲۸۲ سال، درآمدی برابر ثروت فعلی خود به دست آورد؛ این زمان معادل یک عددی۲۸۳ رقمی خواهد بود.

گوگول و گوگول پلکس

عدد بزرگ دیگری که گرچه به بزرگی یک سنتلیون آمریکا نیست، اما شاید بیشتر شناخته شده باشد، گوگول است. گوگول، عددی است به شکل یک به همراه ۱۰۰ صفر (ده به توان صد:۱۰^۱۰۰)؛ این عدد همچنین الهام‌بخش نام موتور جستجوی معروف گوگل نیز هست. نام برگرفته از این عدد (نام وب سایت گوگل)، به این علت برای بنیانگذاران گوگل در مسیر انتخاب نام سایتشان جذاب بود که به حجم وسیعی از اطلاعات موجود در اینترنت اشاره دارد. با این حال، تاکنون اطلاعات موجود در اینترنت هرگز به این عدد نزدیک هم نشده است: تا به امروز، دستگاه آرشیو اینترنت Wayback تنها۸۰۱ میلیارد صفحه وب را از دهه۱۹۹۰ ثبت کرده است.

این امکان وجود دارد که با تبدیل عدد googol به googol plex (نام دفتر مرکزی گوگل در کالیفرنیا) کارآیی بیشتری به آن بدهید. این عدد ۱۰ به توان گوگول، یا ۱۰ به توان ۱۰ به توان ۱۰۰ است.

برای اینکه بفهمیم این عدد چقدر بزرگ است، با جوئل دیوید هامکینز، ریاضیدانی از دانشگاه نوتردام صحبت کردم که در حال نوشتن خبرنامه‌ای با نام «بی نهایت بیشتر»، درباره اعداد بسیار بزرگ و بی‌نهایت‌هاست.

او در این‌باره می‌گوید که گوگول پلکس، عدد یک است که به دنبال آن، تعداد گوگول تا صفر قرار می‌گیرد. چقدر طول می‌کشد تا این عدد را بنویسید؟ خوب، مطمئناً شما در تمام طول زندگیتان نمی‌توانید این کار را انجام دهید، حتی اگر از کودکی شروع به نوشتن این عدد می‌کردید.

برای اینکه بفهمیم بحث یک عدد چند رقمی در میان است، هامکینز آزمایش فکری زیر را پیشنهاد می‌کند:

او می‌گوید: «فرض کنید که من یک دستگاه چاپگر به شما داده‌ام: یک دستگاه چاپگر فوق‌العاده سریع که فرضا توانایی چاپ یک میلیون عدد در هر ثانیه را داشته باشد. حالا فرض کنید که این دستگاه از ابتدای تاریخ جهان، یعنی ۱۳.۸ میلیارد سال پیش شروع به چاپ کرده باشد. حتی اگر این دستگاه چاپگر از زمان بیگ‌بنگ شروع به چاپ اعداد کرده باشد و در هر ثانیه، یک میلیون عدد را چاپ کنید، باز هم نزدیک نخواهید شد و فقط شاید بتوانید کوچکترین بخش گوگول پلکس را چاپ کنید.»

هامکینز به نکته جالبی اشاره می‌کند. او می‌گوید:« اعداد بزرگی وجود دارند که از گوگول پلکس کوچک‌تر هستند و نمی‌توان آنها را با یک کلمه یا یک نماد ساده‌تر بیان کرد و اساسا فراتر از درک ما هستند. هرگز نمی‌توان آنها را بیان و حتی تصور کرد. تنها راه بیان کردن این اعداد، این است که تعداد ارقام آنها را بیان کنید. اما حتی اگر از ابتدای جهان، در هر ثانیه یک میلیون عدد را هر چاپ کرده باشید، بازهم نمی‌توانید آن اعداد را بیان کنید. این وضعیت جالبی را ایجاد می‌کند، چون به این معنی است که توصیف‌های ساده‌ای از اعداد بسیارعظیم داریم، اما در این بین، اعداد زیادی وجود دارند که توصیفشان هم خیلی سخت است.»

با این‌حال دانشمندان حتی اعدادی بزرگتر از گوگول پلکس را نیز توصیف کرده‌اند که از جمله معروف‌ترین آنها، عدد گراهام است.

رونالد گراهام، ریاضیدان دهه۱۹۷۰، از این عدد به‌عنوان بخشی از یک اثبات ریاضی استفاده کرد. او این عدد را برای حل مسئله‌ای در یکی از شاخه‌های ریاضیات با نام «نظریه رمزی» پیشنهاد کرد. این نظریه به چگونگی ایجاد نظم در شرایط هرج و مرج می‌پردازد.

لازم به ذکر است که اگر بخواهید این عدد را روی کاغذ بنویسید، فضای کافی در جهان برای جا دادن این عدد وجود نخواهد داشت.

اما در مورد بی‌نهایت چطور؟ برای یک انسان معمولی، بی‌نهایت یک مفهوم ساده به نظر می‌رسد و به عنوان یک عدد به چشم نمی‌آید، بلکه چیزی است که برای همیشه ادامه دارد. اما اینکه آیا ذهن انسان قادر به درک واقعیت آن است، سؤال دیگری است.

در دهه ۱۷۰۰، نویسنده و فیلسوفی به نام ادموند برک نوشت؛ "بی‌نهایت تمایل دارد تا ذهن انسان را با نوعی وحشت لذت‌بخش پر کند که اصیل‌ترین اثر و واقعی‌ترین چالش انسان است". از نظر برک، این مفهوم ترکیبی از حیرت و ترس یا لذت و درد را به‌طور همزمان ایجاد می‌کند. جدا از تصور، کمتر موقعیتی در دنیا پیش می‌آید که مردم با آن روبرو شوند و حتی در صورت رویارویی باز هم نمی‌توانند آن را به درستی درک کنند.

جفت اعداد و بی‌نهایت‌هایی که از یکدیگر بزرگتر هستند

با این حال، منطق‌دانی به نام گئورگ کانتور که در قرن نوزدهم زندگی می‌کرد، مفهوم بی‌نهایت را مورد استفاده قرار داد و آن را به چالش بزرگ‌تری تبدیل کرد؛ او نشان داد که برخی از بی‌نهایت‌ها بزرگتر از بقیه هستند.

اما چطور؟ برای درک علت آن، اعداد را به‌عنوان یک "مجموعه" در نظر بگیرید. اگر بخواهید همه اعداد طبیعی (۴،۳،۲،۱...)، را در یک مجموعه و همه اعداد زوج را در مجموعه دیگری با هم مقایسه کنید، آنگاه هر عدد طبیعی در اصل می‌تواند با یک عدد زوج متناظر، جفت شود. این جفت شدن نشان می‌دهد که دو مجموعه – که هر دو بی‌نهایت عضو دارند - اندازه یکسانی دارند. آنها از نظر شمارش بی‌نهایت هستند.

با این حال، کانتور نشان داد که نمی‌توان همین کار را با اعداد طبیعی و اعداد حقیقی انجام داد (پیوستگی اعداد با ارقام اعشاری بین آنها:۴،۳،۲،۱،۱۲۳/۰، ۱۲۴/۰، ۱۲۳۴۵/۰ و ...)

اگر سعی کنید اعداد را در هر مجموعه جفت کنید، همیشه یک عدد حقیقی را پیدا خواهید کرد که با یک عدد طبیعی مطابقت نداشته باشد. اعداد حقیقی غیرقابل شمارش، بی‌نهایت هستند. بنابراین، باید تعداد غیرقابل شمارشی از بی‌نهایت وجود داشته باشد.

پذیرفتن این امر سخت است، چه برسد به اینکه بخواهیم آن را به تصویر بکشیم؛ اما واقعیت این است که وقتی سعی می‌کنید با عظمت علم ریاضی دست و پنجه نرم کنید، با اعدادی بزرگ و پیچیده مواجه می‌شوید که درک آنها فراتر از ذهن بشر خواهد بود.