«بهبود کارایی روش پتانسیل‌های تفاضلی در حل برخی از معادلات دیفرانسیل جزئی‎» عنوان طرحی است که در قالب رساله دکتری محبوبه توکلی طامه با راهنمایی فاطمه شاکری عضو هیات علمی دانشگاه امیرکبیر انجام شد.

توکلی طامه با مدرک دکتری تخصصی ریاضی-ریاضی کاربردی از دانشگاه صنعتی‌ امیرکبیر درباره این طرح توضیح داد: معادلات دیفرانسیل در علوم پایه نظیر ریاضی، علوم کامپیوتر، فیزیک، شیمی، زیست‌شناسی و ستاره‌شناسی و همچنین علوم مهندسی نظیر مکانیک، برق، مواد و مهندسی شیمی کاربرد گسترده‌ای دارند. یک معادله دیفرانسیل بیانگر رابطه بین یک تابع مجهول از یک یا چند متغیر مستقل و مشتق‌های مرتبه‌های مختلف آن نسبت به متغیرهای مستقل است.

وی افزود: بسیاری از قوانین عمومی طبیعت در فیزیک، شیمی، زیست‌شناسی و ستاره‌شناسی، طبیعی‌ترین بیان ریاضی خود را در زبان معادلات دیفرانسیل می‌یابند. با توجه به اینکه اغلب معادلات دیفرانسیل که به واقعیت پدیده‌ها نزدیک هستند، جملات غیرخطی و پیچیده دارند، یافتن جواب تحلیلی برای آنها امری دشوار یا غیرممکن است.

این پژوهشگر در ادامه بیان کرد: نبود پاسخ تحلیلی برای این گونه معادلات پیچیده و غیرخطی، منجر به ایجاد و گسترش روش‌های عددی شده است. مهمترین پارامترهای ارزیابی روش‌های عددی، سرعت، دقت و صحت حل معادله است.

وی تصریح کرد: با توجه به ارتقای چشمگیر سرعت و ظرفیت پردازش اطلاعات در پردازنده‌ها و کامپیوترها در اواخر قرن نوزدهم، روش‌های عددی نیز گسترده‌تر شدند. یکی از مواردی که در بیشتر روش‌های عددی ایجاد چالش می‌کند، پرداختن به معادلات تعریف شده در دامنه‌های با هندسه پیچیده و دامنه‌های مرز مشترک است. مسائل مرز مشترک مسائلی هستند که در آنها دامنه مسأله به زیردامنه‌های مجزا تقسیم می‌شود. علاوه بر آن پارامترهای مسأله و همچنین جواب در مرز مشترک ممکن است ناپیوسته باشند و لذا بسیاری از روش‌های عددی که مبتنی بر همواری جواب هستند، در حل این مسائل کارایی چندانی ندارند.

این پژوهشگر تأکید کرد: با وجود تلاش‌های انجام شده در طراحی روش‌های عددی کارآمد، طراحی روش‌های با مراتب دقت بالا برای این مسائل همچنان به عنوان یک چالش مطرح است. یکی از روش‌های کارا برای حل این گونه از مسائل که تا کنون کمتر به آن پرداخته شده است، روش پتانسیل‌های تفاضلی است. این روش بر خلاف بسیاری از روش‌های عددی با چالش کاهش دقت در نقاط ناپیوستگی دامنه مواجه نیست و نیازی به اصلاح طرح‌های گسسته‌سازی در مرزهای مشترک ندارد. روش پتانسیل‌های تفاضلی مسائل تعریف شده در انواع مختلف دامنه از جمله دامنه‌های مرز مشترک را بدون نیاز به استفاده از شبکه‌بندی‌های پیچیده حل می‌کند.

توکلی طامه ادامه داد: توجه به این نکته لازم است که استفاده از طرح‌های گسسته‌سازی مناسب یکی از ارکان مهم روش پتانسیل‌های تفاضلی است. بر اساس مطالعات صورت گرفته، ‏مشاهده شد که تاکنون ‏بیشتر از طرح‌های تفاضلات متناهی برای گسسته‌سازی مسائل کمکی استفاده شده است و ‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎طرح‌های ‎‏تفاضلات‎‎‎ متناهی فشرده‏ و مرکزی از متداول‌ترین طرح‌های به کار برده شده در این روش محسوب می‌شوند.

به نقل از روابط‌عمومی بنیاد ملی علم ایران (INSF)، وی اضافه کرد: گسترش و بهبود کارایی روش پتانسیل‌های تفاضلی در حل مسائل مرز مشترک پرکاربرد در زمینه فیزیک و مهندسی از طریق طراحی الگوریتم‌های با مرتبه دقت بالا و به‌کارگیری‌ ایده‌های کاهش‌دهنده هزینه محاسباتی از جمله اهداف انجام این طرح بوده است.

توکلی طامه در پایان خاطر نشان کرد: در این تحقیق توانستیم به ارائه جواب‌های عددی با دقت بالا برای معادلات دیفرانسیل جزئی حاصل از مدل‌بندی پدیده‌های طبیعی که فاقد جواب تحلیلی هستند، دست پیدا کنیم.